正弦定理的四种证明方法(3)
2023-03-15 来源:你乐谷
△ABC的面积S=1/2·bcsin∠A=1/2·acsin∠B=1/2·absin∠C
上式同时除1/2·abc即得a/sin∠A=b/sin∠B=c/sin∠C
证法三（作外接圆）：
作△ABC的外接圆O，半径为r，直径为d，连接AO并延长交⊙O于D点，连接CD，如下图
∵同弧所对圆周角相等
∴∠B=∠D，b/sin∠B=b/sin∠D
∵直径所对圆周角为90度
∴b/sin∠B=b/sin∠D=2r=d
同理可得：a/sin∠A=b/sin∠B=c/sin∠C=2r=d
证法四（用向量）：
（1）当△ABC为锐角三角形时，作向量BC、BA、CA以及垂直于BC的向量n（以加粗表示向量），如下图
上式同时除1/2·abc即得a/sin∠A=b/sin∠B=c/sin∠C
证法三（作外接圆）：
作△ABC的外接圆O，半径为r，直径为d，连接AO并延长交⊙O于D点，连接CD，如下图
∵同弧所对圆周角相等
∴∠B=∠D，b/sin∠B=b/sin∠D
∵直径所对圆周角为90度
∴b/sin∠B=b/sin∠D=2r=d
同理可得：a/sin∠A=b/sin∠B=c/sin∠C=2r=d
证法四（用向量）：
（1）当△ABC为锐角三角形时，作向量BC、BA、CA以及垂直于BC的向量n（以加粗表示向量），如下图
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